04 // 交互式科学公式百科 // 微积分、级数展开与代数恒等式速查log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b)
对数运算法则与换底公式 — 完整代数恒等式速查
汇总自然对数 (ln)、以 2 为底 (log₂) 与常用对数 (log₁₀) 的积、商、幂运算性质及换底公式。
公式速查卡
核心公式
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b)
变形公式
log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y) (Product Rule)
log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y) (Quotient Rule)
log_b(xᵖ) = p · log_b(x), b^(log_b x) = x (Power & Inverse Identity)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| log_b(x) | Logarithm of x in Base b | dimensionless |
| x | Argument Value (x > 0) | 1 |
| b | Logarithm Base (b > 0, b ≠ 1) | 1 |
输入数值与参数
[1]
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计算结果 (Logarithm of x in Base b)
log_b(x) =10dimensionless
公式说明与推导背景
- Let y = log_b(x), which by definition means bʸ = x.
- Take the natural logarithm ln(·) of both sides: ln(bʸ) = ln(x).
- Apply the power property y · ln(b) = ln(x) and divide by ln(b) ≠ 0 to obtain y = ln(x) / ln(b).
分步计算实例
#1: Evaluate log₂(1024) and log₂(50) using natural logarithms.
x₁ = 1024, b = 2x₂ = 50, b = 2
log₂(1024) = ln(1024)/ln(2) = 10; log₂(50) = 3.91202 / 0.69315
→ log₂(1024) = 10, log₂(50) ≈ 5.64386
#2: Solve for compounding time t in 2 = (1.07)ᵗ (the exact Rule of 72 doubling time).
x = 2b = 1.07
t = log_{1.07}(2) = ln(2) / ln(1.07) = 0.69315 / 0.06766
→ t = 10.2448 years
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