04 // Compendium Interactif de Formules // FORMULES D'ANALYSE, SÉRIES ET IDENTITÉS ALGÉBRIQUESlog_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b)

Propriétés des logarithmes et formule de changement de base

Récapitulatif complet des règles de produit, quotient, puissance et changement de base pour les logarithmes népérien (ln), binaire (log₂) et décimal (log₁₀).

Fiche formule

Formule principale

log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b)

Formes équivalentes

log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y) (Product Rule)

log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y) (Quotient Rule)

log_b(xᵖ) = p · log_b(x), b^(log_b x) = x (Power & Inverse Identity)

Variables et unités

Variables et unités — Logarithm Laws & Change of Base Formula — Complete Algebraic Sheet
Symbol	Name	Unit
log_b(x)	Logarithm of x in Base b	dimensionless
x	Argument Value (x > 0)	1
b	Logarithm Base (b > 0, b ≠ 1)	1

Valeurs et paramètres

xArgument Value (x > 0)[1]

bLogarithm Base (b > 0, b ≠ 1)[1]

Résultat calculé (Logarithm of x in Base b)

log_b(x) =10dimensionless

Explications et origine de la formule

Let y = log_b(x), which by definition means bʸ = x.
Take the natural logarithm ln(·) of both sides: ln(bʸ) = ln(x).
Apply the power property y · ln(b) = ln(x) and divide by ln(b) ≠ 0 to obtain y = ln(x) / ln(b).

Exemples détaillés

#1: Evaluate log₂(1024) and log₂(50) using natural logarithms.

x₁ = 1024, b = 2x₂ = 50, b = 2

log₂(1024) = ln(1024)/ln(2) = 10; log₂(50) = 3.91202 / 0.69315

→ log₂(1024) = 10, log₂(50) ≈ 5.64386

#2: Solve for compounding time t in 2 = (1.07)ᵗ (the exact Rule of 72 doubling time).

x = 2b = 1.07

t = log_{1.07}(2) = ln(2) / ln(1.07) = 0.69315 / 0.06766

→ t = 10.2448 years

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Questions Fréquemment Posées

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Modifiez les paramètres pour résoudre et visualiser Propriétés des logarithmes et formule de changement de base selon la formule log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b) instantanément dans votre navigateur. Récapitulatif complet des règles de produit, quotient, puissance et changement de base pour les logarithmes népérien (ln), binaire (log₂) et décimal (log₁₀).

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