04 // 交互式科学公式百科 // 公司金融、衍生品定价与投资组合公式PV = PMT · [ 1 − (1 + r)⁻ⁿ ] / r
年金现值与等额本息贷款摊销公式速查表
将未来 n 期每期相等的现金流 PMT 按每期利率 r 折算为当前的单笔等价现值 PV。
公式速查卡
核心公式
PV = PMT · [ 1 − (1 + r)⁻ⁿ ] / r
变形公式
PMT = PV · [ r(1 + r)ⁿ ] / [ (1 + r)ⁿ − 1 ] (Fixed Loan Payment)
FV = PMT · [ (1 + r)ⁿ − 1 ] / r (Future Value of Ordinary Annuity)
PV_due = PV_ordinary · (1 + r) (Annuity Due: Payments at Start of Period)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| PV | Present Value of Annuity (PV) | USD |
| PMT | Periodic Payment Amount (PMT) | USD |
| r | Periodic Discount Rate (r) | 1/period |
| n | Total Number of Periods (n) | periods |
输入数值与参数
[USD]
[1/period]
[periods]
计算结果 (Present Value of Annuity (PV))
PV =166,791.6USD
公式说明与推导背景
- Write PV as the sum of discounted payments: PV = PMT/(1+r)¹ + PMT/(1+r)² + … + PMT/(1+r)ⁿ.
- Factor out PMT/(1+r) and apply the finite geometric series sum formula with common ratio q = 1/(1+r).
- Simplifying [1 − (1+r)⁻ⁿ] / [1 − 1/(1+r)] cancels the (1+r) factor and leaves PV = PMT · [1 − (1+r)⁻ⁿ] / r.
分步计算实例
#1: Find the maximum mortgage loan PV supported by a $1,000/month payment at 6% APR (r = 0.005/mo) for 30 years (n = 360).
PMT = $1,000r = 0.06 / 12 = 0.005n = 360 months
PV = 1000 × [1 − (1.005)⁻³⁶⁰] / 0.005 = 1000 × [1 − 0.16604] / 0.005
→ PV = $166,791.61
#2: Find the lump sum needed today to fund $50,000/year retirement withdrawals for 20 years at 5% annual return.
PMT = $50,000r = 0.05n = 20
PV = 50000 × [1 − (1.05)⁻²⁰] / 0.05 = 50000 × 12.46221
→ PV = $623,110.52
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常见问题解答 (FAQ)
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