04 // Interaktives Formel-Kompendium // FORMELN ZU UNTERNEHMENSFINANZIERUNG, DERIVATEN & PORTFOLIOSPV = PMT · [ 1 − (1 + r)⁻ⁿ ] / r

Rentenbarwertformel & Annuitätentilgung — Finanzreferenz

Diskontiert eine Reihe von n gleich hohen regelmäßigen Zahlungen PMT zum Periodenzins r auf ihren heutigen Gesamtwert (Barwert PV).

Formelübersicht

Hauptformel

PV = PMT · [ 1 − (1 + r)⁻ⁿ ] / r

Umgestellte Formen

PMT = PV · [ r(1 + r)ⁿ ] / [ (1 + r)ⁿ − 1 ] (Fixed Loan Payment)

FV = PMT · [ (1 + r)ⁿ − 1 ] / r (Future Value of Ordinary Annuity)

PV_due = PV_ordinary · (1 + r) (Annuity Due: Payments at Start of Period)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten — Present Value of an Annuity & Loan Amortization Formula Sheet
Symbol	Name	Unit
PV	Present Value of Annuity (PV)	USD
PMT	Periodic Payment Amount (PMT)	USD
r	Periodic Discount Rate (r)	1/period
n	Total Number of Periods (n)	periods

Eingaben & Parameter

PMTPeriodic Payment Amount (PMT)[USD]

rPeriodic Discount Rate (r)[1/period]

nTotal Number of Periods (n)[periods]

Berechnetes Ergebnis (Present Value of Annuity (PV))

PV =166,791.6USD

Formelhinweise & Herleitung

Write PV as the sum of discounted payments: PV = PMT/(1+r)¹ + PMT/(1+r)² + … + PMT/(1+r)ⁿ.
Factor out PMT/(1+r) and apply the finite geometric series sum formula with common ratio q = 1/(1+r).
Simplifying [1 − (1+r)⁻ⁿ] / [1 − 1/(1+r)] cancels the (1+r) factor and leaves PV = PMT · [1 − (1+r)⁻ⁿ] / r.

Durchgerechnete Beispiele

#1: Find the maximum mortgage loan PV supported by a $1,000/month payment at 6% APR (r = 0.005/mo) for 30 years (n = 360).

PMT = $1,000r = 0.06 / 12 = 0.005n = 360 months

PV = 1000 × [1 − (1.005)⁻³⁶⁰] / 0.005 = 1000 × [1 − 0.16604] / 0.005

→ PV = $166,791.61

#2: Find the lump sum needed today to fund $50,000/year retirement withdrawals for 20 years at 5% annual return.

PMT = $50,000r = 0.05n = 20

PV = 50000 × [1 − (1.05)⁻²⁰] / 0.05 = 50000 × 12.46221

→ PV = $623,110.52

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

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