04 // Compendium Interactif de Formules // LOIS DE LA MÉCANIQUE, DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME ET DE LA RELATIVITÉE = γ m c², where γ = 1 / √(1 − v² / c²)

Équivalence masse-énergie d'Einstein (E = mc²), facteur de Lorentz et dilatation du temps

Formules de la relativité restreinte couvrant le facteur de Lorentz γ, l'énergie au repos E₀ = mc², la dilatation des durées et la contraction des longueurs.

Fiche formule

Formule principale

E = γ m c², where γ = 1 / √(1 − v² / c²)

Formes équivalentes

E₀ = m c², K_rel = (γ − 1) m c² (Rest Energy & Relativistic Kinetic Energy)

E² = (p c)² + (m c²)² (Energy-Momentum Dispersion Relation)

Δt = γ · Δτ, L = L₀ / γ (Time Dilation & Length Contraction)

Variables et unités

Variables et unités — Einstein Mass-Energy Equivalence, Lorentz Factor & Time Dilation Sheet
Symbol	Name	Unit
gamma	Lorentz Factor γ = 1 / √(1 − β²)	dimensionless
beta	Velocity Fraction of Light (β = v / c < 1)	c

Valeurs et paramètres

betaVelocity Fraction of Light (β = v / c < 1)[c]

Résultat calculé (Lorentz Factor γ = 1 / √(1 − β²))

gamma =1.666667dimensionless

Explications et origine de la formule

From the constancy of the speed of light c in all inertial frames, a light-clock moving transversely at speed v travels hypotenuse c Δt while vertical path is c Δτ and horizontal path is v Δt.
By the Pythagorean theorem, (c Δt)² = (v Δt)² + (c Δτ)² ⇒ Δt = Δτ / √(1 − v²/c²) = γ Δτ.
Integrating relativistic work dK = v dp with p = γmv yields K = (γ − 1)mc², identifying E₀ = mc² as rest-mass energy.

Exemples détaillés

#1: Find the Lorentz factor γ, time dilation, and length contraction for a spacecraft traveling at v = 0.80c.

β = v / c = 0.80

γ = 1 / √(1 − 0.80²) = 1 / √(1 − 0.64) = 1 / √0.36 = 1 / 0.60

→ γ = 5/3 ≈ 1.6667 (moving clocks run 1.67× slower; length contracts to 60% of L₀)

#2: Calculate the energy released by converting Δm = 1.0 gram (0.001 kg) of matter completely into energy.

m = 0.001 kgc = 2.99792 × 10⁸ m/s

E₀ = 0.001 × (2.99792 × 10⁸)² = 8.98755 × 10¹³ J

→ 89.88 TJ (24.97 GWh of electricity, or ~21.5 kilotons of TNT)

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Questions Fréquemment Posées

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