04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // यांत्रिकी, विद्युत-चुंबकत्व और सापेक्षता के नियमW = F · d · cos(θ) = ΔK = ½ m v_f² − ½ m v_i²
कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem) और यांत्रिक शक्ति सूत्र शीट
किसी पिंड पर किए गए कुल यांत्रिक कार्य W = F·d cos(θ) को उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन ΔK और तात्क्षणिक शक्ति P = F·v से जोड़ता है।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
W = F · d · cos(θ) = ΔK = ½ m v_f² − ½ m v_i²
अन्य रूप
W = ∫_{r₁}^{r₂} F(r) · dr (Line Integral for Variable Force)
P_avg = W / Δt, P_inst = F · v · cos(θ) (Mechanical Power in Watts)
1 hp (mechanical) = 745.7 W, 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| W | Mechanical Work Done (F·d·cos θ) | J |
| F | Applied Force Magnitude (F) | N |
| d | Displacement Distance (d) | m |
| theta_deg | Angle Between F and d (degrees) | deg |
इनपुट और मान
[N]
[m]
[deg]
गणना का परिणाम (Mechanical Work Done (F·d·cos θ))
W =2,598.076J
सूत्र की जानकारी और आधार
- Start with Newton's second law along the path s: F_t = m a_t = m (dv/dt) = m (dv/ds)(ds/dt) = m v (dv/ds).
- Multiply by ds and integrate from s₁ to s₂: W = ∫ F_t ds = ∫_{v_i}^{v_f} m v dv.
- Evaluating the definite integral gives W = ½mv_f² − ½mv_i² = ΔK.
हल किए गए उदाहरण
#1: A worker pulls a crate d = 12 m across a floor with tension F = 250 N via a rope angled at θ = 30° above horizontal.
F = 250 Nd = 12 mθ = 30° (cos 30° ≈ 0.86603)
W = 250 × 12 × cos(30°) = 3,000 × 0.86603
→ W = 2,598.08 J (2.60 kJ)
#2: Calculate the braking work required to bring a 2,000 kg car from 30 m/s to rest.
m = 2,000 kgv_i = 30 m/sv_f = 0 m/s
W = ΔK = 0 − ½(2000)(30²) = −1000 × 900
→ W = −900,000 J (−900 kJ dissipated as brake heat)
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
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