04 // Interaktives Formel-Kompendium // FORMELN ZU WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN, REGRESSION & ENTROPIEH(X) = −∑ p_i · log₂(p_i), C = B · log₂(1 + S/N)

Shannon-Informationsentropie & Kanalkapazität (Shannon-Hartley)

Grundgleichungen der Informationstheorie für den minimalen Speicherbedarf pro Zeichen H(X) und die maximale fehlerfreie Datenrate C.

Formelübersicht

Hauptformel

H(X) = −∑ p_i · log₂(p_i), C = B · log₂(1 + S/N)

Umgestellte Formen

H_binary(p) = −p·log₂(p) − (1−p)·log₂(1−p)

D_KL(P ∥ Q) = ∑ p_i · log₂(p_i / q_i)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten — Shannon Information Entropy & Channel Capacity Formula
Symbol	Name	Unit
H	Binary Entropy H(p)	bits / symbol
p	Symbol Probability p	0–1
M	Equiprobable Alphabet Size M (info log₂M)	symbols

Eingaben & Parameter

pSymbol Probability p[0–1]

MEquiprobable Alphabet Size M (info log₂M)[symbols]

Berechnetes Ergebnis (Binary Entropy H(p))

H =0.811278bits / symbol

Formelhinweise & Herleitung

Claude Shannon (1948) proved H(X) = −∑ p_i log₂(p_i) is the unique continuous, symmetric, additive functional measuring uncertainty up to a logarithmic base factor.
Base-2 logarithms yield 'bits' (shannons); natural logarithms yield 'nats' (1 nat = 1/ln2 ≈ 1.4427 bits).

Durchgerechnete Beispiele

#1: Binary source emitting '1' with probability p = 0.25 and '0' with probability 0.75.

p = 0.251 − p = 0.75

H = −0.25·log₂(0.25) − 0.75·log₂(0.75) = 0.500 + 0.3113

→ H = 0.8113 bits/symbol (compresses ~18.9% below 1 raw bit/symbol)

#2: Shannon-Hartley capacity of a B = 20 MHz wireless channel at SNR = 31 (≈ 14.9 dB).

B = 20 MHzS/N = 31

C = 20 × 10⁶ × log₂(1 + 31) = 20 × 10⁶ × 5

→ C = 100 Mbps theoretical error-free limit

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man Shannon-Informationsentropie & Kanalkapazität (Shannon-Hartley) mit diesem Online-Werkzeug?+

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